Александр Шовковский родился в 1975 году в Киеве. По версии журнала «Украинский футбол» он признан девятикратным лучшим вратарем Украины. Шовковский является рекордсменом чемпионата Украины по количеству сыгранных матчей в высшем дивизионе. 

В октябре 2016 года Шовковский получил тренерскую лицензию, а спустя два месяца заявил о завершении карьеры игрока. 

С сентября 2018 года является ассистентом главного тренера украинской сборной по футболу. С февраля 2020 года Шовковский вступил в должность спортивного эксперта Parimatch.